三平方の定理（ピタゴラスの定理）の証明

三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは、直角三角形の直角をなす辺の二乗の和が残りの一辺の二乗に等しいと言うもの。
の
c²=a²+b²って事です。 とりあえず思いついたものを四つ程書き連ねます。証明方法は三百数十通りあるだとか。

その一

まず左図のような三角形を考えます。
それを四つくっつけて下の図の形に組み合わせます。
大きな外側の四角形の面積はc²、三角形一つの面積はa * b / 2、内側の小さな四角形の面積は(b - a)²。よって
c² = 4 * (a * b / 2) + (b - a)²
c² = 2ab + b² - 2ab + a²
c² = a² + b²
終了。
ちなみに下の図は、次の説明のための画像用意するつもりで同じ画像作ってしまったけどついでに掲載。

その二

この三角形を組み合わせ、
この図形を作る。
大きな外側の四角形の面積は(a + b)²、三角形一つの面積はa * b / 2、内側の小さな四角形の面積はc²。よって
(a + b)² = 4 * (a * b / 2) + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²
終了。

その三

直角の点から辺cへの垂線（図では青色の線）を下ろす。
左の緑色の三角形と、右の水色の三角形、赤い線で作られた全体の三角形は全て相似。（三角が等しい）
赤色の三角形では長さcの辺が、緑ではb、水色ではaとなっているので、
c = (b / c) * b + (a / c) * a
c² = b² + a²
となる。 三角形一個でできるんで省スペース。

その四

直角三角形を四つ組み合わせて、
平行四辺形を作り、左上の点から垂線（図では青色の線）をおろします。
そうすると、最初の水色の三角形と黄色の三角形、緑色の三角形が全て相似となります。（三角が等しい）
青色の線の長さの黄色に接する部分の長さは (a / b) * c
緑に接する部分は [{b - (a / b) * a} / c] * a
とあらわせます。よって平行四辺形の面積は
4 * a * b / 2 = c * <(a / b) * c + [{b - (a / b) * a} / c] * a>
2ab = c² * a / b + ab - a³ / b 2b² = c² + b² - a²
両辺に (b / a) をかける。
a² + b² = c²
了。

と、これで終了。個人的には、一と二は、思いついたと言うか思い出したってのに近い気がするんで、三が一番お気に入りかも。図も説明も楽だし。
間違ってたらすいません。たぶんあってると思うけど。